О некоторых особенностях расчета стандартных мер емкости остродонных амфор

с.106 Извест­но, что амфо­ры антич­ных цен­тров явля­лись стан­дарт­ной тарой, при­чем каж­дая мера емко­сти име­ла стро­го обу­слов­лен­ные линей­ные раз­ме­ры¹. В то же вре­мя оста­ва­лось неяс­но, каким обра­зом гре­ки рас­счи­ты­ва­ли эти меры емко­сти. В резуль­та­те мно­го­лет­них иссле­до­ва­ний было выска­за­но пред­по­ло­же­ние, что амфор­ные стан­дар­ты емко­сти мог­ли рас­счи­ты­вать­ся по одной или несколь­ким фор­му­лам, извест­ным как фор­му­лы Геро­на.

Наи­боль­шие успе­хи в изу­че­нии антич­ной мет­ро­ло­гии и осо­бен­но стан­дар­тов емко­сти достиг­ну­ты И. Б. Бра­шин­ским. Им убеди­тель­но дока­за­но, что одна из фор­мул Геро­на (фор­му­ла «пифо­ида»: 11/14×[(наи­бол. диам.+наим. диам.)÷2]²×глу­би­на) может иметь огра­ни­чен­ное при­ме­не­ние для вычис­ле­ния мер емко­сти неко­то­рых типов амфор отдель­ных цен­тров (Фасос, Родос, Мен­де, Сино­па). Образ­цы такой тары назва­ны им амфо­ра­ми «пифо­ид­но­го типа»². Все они отли­ча­ют­ся при­зе­ми­сты­ми очер­та­ни­я­ми, широ­ким туло­вом и дей­ст­ви­тель­но напо­ми­на­ют по сво­ей фор­ме пифос.

Вме­сте с тем И. Б. Бра­шин­ский опре­де­лен­но под­чер­ки­ва­ет, что объ­е­мы боль­шей части сре­ди­зем­но­мор­ских и южно­пон­тий­ских амфор, кото­рые не вхо­дят в кате­го­рию «пифо­ид­ных», не могут быть про­счи­та­ны по фор­му­лам Геро­на.

с.107 На этом осно­ва­нии был сде­лан вывод о суще­ст­во­ва­нии в антич­но­сти каких-то не дошед­ших до нас фор­мул рас­че­та объ­е­ма тел вра­ще­ния, кото­рые, ско­рее все­го, созда­ва­лись для каж­до­го типа сосудов экс­пе­ри­мен­таль­но. М. Лэнг даже пред­ло­жи­ла одну фор­му­лу (11/14×(¾макс. диам.)²×глу­би­на) для вычис­ле­ния объ­е­ма пана­фи­ней­ских амфор. Впро­чем, при­ме­нить ее к ост­ро­дон­ным амфо­рам ока­за­лось невоз­мож­ным³.

Наши иссле­до­ва­ния хер­со­нес­ской тары в целом под­твер­жда­ют выво­ды И. Б. Бра­шин­ско­го. Как выяс­ни­лось, в Хер­со­не­се на про­тя­же­нии элли­ни­сти­че­ско­го пери­о­да выпус­ка­лись амфо­ры как мини­мум шести-вось­ми стан­дарт­ных мер емко­сти; в 4, 8, 12, 16, 20, 24 хой­ни­ка, что экви­ва­лент­но 1, 2, 3, 4, 5, 6 геми­гек­там, а, кро­ме того, види­мо, и меры в 3 и 7 хой­ни­ков. Каж­дая из них обла­да­ет толь­ко ей свой­ст­вен­ны­ми линей­ны­ми раз­ме­ра­ми.

Стан­дарт­ные меры емко­сти амфор объ­е­мом в 3—6 геми­гек­тов хоро­шо вычис­ля­ют­ся на осно­ве этих раз­ме­ров по пер­вой фор­му­ле Геро­на: 11/14×[(наи­бол. диам.+наим. диам.)÷2]²×глу­би­на или 11/14×[(D+d)÷2]²×H₀. Тара объ­е­мом в 1 и 2 геми­гек­та, судя по все­му, рас­счи­ты­ва­лась по дру­гой фор­му­ле Геро­на — 11/21×[(D+d)÷2]²×H₀⁴. Хер­со­нес­ский мате­ри­ал осо­бен­но ценен пото­му, что поз­во­ля­ет все без исклю­че­ния груп­пы сосудов соот­не­сти с одной из двух фор­мул Геро­на.

В то же вре­мя нель­зя быть пол­но­стью уве­рен­ным в том, что рас­чет этих мер про­из­во­дил­ся имен­но по фор­му­лам Геро­на, а не по каким-то дру­гим неиз­вест­ным нам фор­му­лам. Кста­ти ска­зать, в источ­ни­ке совер­шен­но опре­де­лен­но гово­рит­ся о при­ме­ни­мо­сти фор­мул Геро­на толь­ко для пифо­сов, а выбор той или иной из них ста­вит­ся в зави­си­мость от фор­мы сосуда («пифо­ид», «сфе­ро­ид­ный пифос» и «дру­гой пифос»)⁵. Тот факт, что две пер­вые фор­му­лы под­хо­дят для всех хер­со­нес­ских и неко­то­рых сре­ди­зем­но­мор­ских и южно­пон­тий­ских амфор, может ока­зать­ся слу­чай­ным сов­па­де­ни­ем. Весь­ма веро­ят­но, что насто­я­щий рас­чет стан­дар­тов про­из­во­дил­ся ина­че.

с.108 Для рекон­струк­ции этой мето­ди­ки, преж­де все­го, види­мо, сле­ду­ет деталь­но рас­шиф­ро­вать уже извест­ные нам фор­му­лы Геро­на. Так, уже отме­ча­лось, что коэф­фи­ци­ен­ты 11/14 и 11/21 явля­ют­ся хоро­шим при­бли­же­ни­ем к дроб­ным частям чис­ла π: 11/14=π/4, а 11/21=π/6⁶. В пре­об­ра­зо­ван­ном виде обе фор­му­лы выглядят сле­дую­щим обра­зом: π/4 (или π/6)×D_ср.²×H₀, где D_ср. (сред­ний диа­метр) есть поло­ви­на сум­мы наи­боль­ше­го диа­мет­ра туло­ва и диа­мет­ра устья. В таком слу­чае фор­му­ла Геро­на с коэф­фи­ци­ен­том 11/14 явля­ет­ся фор­му­лой объ­е­ма цилин­дра, у кото­ро­го диа­метр осно­ва­ния равен сред­не­му диа­мет­ру (D+d)÷2, а высота — глу­бине амфор кон­крет­ной меры емко­сти (рис. 1). Дру­ги­ми сло­ва­ми, наблюда­ет­ся равен­ство π/4×D_ср.²×H₀=π×r²×H₀.

Рис. 1. Про­стран­ст­вен­ная схе­ма геро­нов­ской фор­му­лы «пифо­ида» и новой фор­му­лы рас­че­та емко­сти амфор «пифо­ид­но­го типа»

Вто­рая фор­му­ла Геро­на — «сфе­ро­ид­но­го пифо­са» — где исполь­зу­ет­ся коэф­фи­ци­ент 11/21 (или π/6), ана­ло­гич­ным обра­зом пре­об­ра­зу­ет­ся в совре­мен­ную фор­му­лу объ­е­ма кону­са. Диа­метр осно­ва­ния это­го кону­са будет равен D_ср., а высота — 2×H₀.

Выяв­лен­ные зако­но­мер­но­сти заста­ви­ли более тща­тель­но про­ана­ли­зи­ро­вать линей­ные раз­ме­ры кера­ми­че­ской тары Хер­со­не­са и осо­бен­но соот­но­ше­ния этих раз­ме­ров. Так, при обра­бот­ке сред­не­ариф­ме­ти­че­ских зна­че­ний линей­ных раз­ме­ров амфор емко­стью в 2—6 геми­гек­тов было заме­че­но, что про­из­веде­ние фак­ти­че­ской глу­би­ны, при­су­щей каж­дой типо-емко­сти, на коэф­фи­ци­ент 11/14 по зна­че­нию чрез­вы­чай­но близ­ко, а ино­гда сов­па­да­ет с.109 с неко­ей вели­чи­ной, состав­ля­ю­щей раз­ни­цу меж­ду глу­би­ной и высотой гор­ла (H₄=H₀—H₃). Такое равен­ство мож­но выра­зить как 11/14×H₀=H₀—H₃ или 11/14×H₀=H₄. Не состав­ля­ет труда опре­де­лить и вели­чи­ну H₄ в дак­ти­лях (см. табл.). В древ­них еди­ни­цах H₄, так же как и по сред­не­ариф­ме­ти­че­ским мет­ри­че­ским пока­за­те­лям, состав­ля­ет при­бли­зи­тель­но 11/14 от глу­би­ны. Посколь­ку равен­ство 11/14×H₀=H₄ выяв­ля­ет­ся доста­точ­но уве­рен­но, то и геро­нов­скую фор­му­лу «пифо­ида» мож­но пред­ста­вить в виде: H₄×[(D+d)÷2]² или H₄×D_ср.². В таб­ли­це при­веде­ны рас­че­ты емко­сти на осно­ве линей­ных раз­ме­ров как по фор­му­ле Геро­на, так и по рекон­струи­ро­ван­ной фор­му­ле, при­чем резуль­та­ты вычис­ле­ний при­бли­жен­но рав­ны.

Если фор­му­ла «пифо­ида» опре­де­ля­ет объ­ем цилин­дра, у кото­ро­го диа­метр осно­ва­ния равен D_ср., а высота — глу­бине амфор дан­ной меры емко­сти, то соглас­но новой фор­му­ле мы полу­ча­ем совер­шен­но иную про­стран­ст­вен­ную фигу­ру — парал­ле­ле­пи­пед, у кото­ро­го сто­ро­на осно­ва­ния рав­на D_ср., а высота — 11/14 глу­би­ны амфо­ры или раз­ни­це меж­ду глу­би­ной и высотой гор­ла (рис. 1). Отме­тим, что осно­ва­ние цилин­дра (фор­му­ла Геро­на) ока­зы­ва­ет­ся кру­гом, впи­сан­ным в квад­рат, явля­ю­щий­ся осно­ва­ни­ем парал­ле­ле­пи­пе­да.

Дан­ное равен­ство объ­е­мов двух фигур рас­шиф­ро­вы­ва­ет­ся в соот­вет­ст­вии с одной из тео­рем, при­пи­сы­вае­мых Архи­меду, и сфор­му­ли­ро­ван­ной сле­дую­щим обра­зом: круг к квад­ра­ту на диа­мет­ре отно­сит­ся как 11 к 14⁷. Ина­че, пло­щадь кру­га, впи­сан­но­го в квад­рат, состав­ля­ет 11/14 от пло­ща­ди дан­но­го квад­ра­та. Из тео­ре­мы сле­ду­ет, что для равен­ства объ­е­мов цилин­дра и парал­ле­ле­пи­пе­да высота вто­ро­го долж­на состав­лять 11/14 высоты цилин­дра. Это мы и наблюда­ем в дан­ном слу­чае.

Рекон­струи­ро­ван­ная фор­му­ла H₄×D_ср.², на наш взгляд, более удоб­на, чем соот­вет­ст­ву­ю­щая фор­му­ла Геро­на. Кро­ме несо­мнен­ной про­стоты в ее поль­зу свиде­тель­ст­ву­ет явная зако­но­мер­ность — реаль­ная емкость амфор все­гда несколь­ко боль­ше стан­дарт­ной меры, судя по все­му, с рас­че­том на объ­ем, зани­мае­мый проб­кой, необ­хо­ди­мой воздуш­ной про­слой­кой меж­ду содер­жи­мым и проб­кой и т. п.⁸ с.110 В абсо­лют­ных циф­рах эта раз­ни­ца меж­ду фак­ти­че­ской емко­стью и стан­дарт­ной мерой при­мер­но рав­на объ­е­му гор­ла⁹. У Като­на, напри­мер, име­ет­ся ука­за­ние запол­нять амфо­ру толь­ко до осно­ва­ния ручек¹⁰. При всей раз­но­тип­но­сти амфор место ниж­не­го при­ле­па ручек нахо­дит­ся где-то на гра­ни­це меж­ду гор­лом и пле­чи­ка­ми¹¹. Таким обра­зом, объ­ем гор­ла ско­рее все­го дей­ст­ви­тель­но не учи­ты­вал­ся в ходе рас­че­та стан­дарт­ной меры, что само по себе явля­ет­ся пря­мым ука­за­ни­ем на пред­по­чти­тель­ность гипо­те­тич­ной фор­му­лы H₄×D_ср.² перед ана­ло­гич­ной геро­нов­ской фор­му­лой пифо­ида.

Что же каса­ет­ся хер­со­нес­ских амфор малых мер емко­сти (3 и 4 хой­ни­ка), то для них выяв­ле­на дру­гая зако­но­мер­ность. В дан­ном слу­чае про­из­веде­ние фак­ти­че­ской глу­би­ны на коэф­фи­ци­ент 11/21 рав­но раз­но­сти меж­ду глу­би­ной и высотой верх­ней части сосуда: 11/21×H₀=H₀—H₁ или 11/21×H₀=H₅. Сле­до­ва­тель­но, воз­мож­но при­ме­не­ние вме­сто фор­му­лы Геро­на «сфе­ро­ид­но­го пифо­са» — 11/21×[(D+d)÷2]²×H₀ — новой фор­му­лы H₅×D_ср.². Фак­ти­че­ски она дает объ­ем неко­е­го парал­ле­ле­пи­пе­да, у кото­ро­го сто­ро­на осно­ва­ния рав­на D_ср., а высота — 11/21 глу­би­ны, или раз­но­сти меж­ду глу­би­ной и высотой верх­ней части. Соот­вет­ст­ву­ю­щие рас­че­ты емко­сти по линей­ным раз­ме­рам дают в обо­их слу­ча­ях чрез­вы­чай­но близ­кие резуль­та­ты (см. табл.). Объ­ем­ная схе­ма новой фор­му­лы пред­став­ле­на на рис. 2.

Обе рекон­струи­ро­ван­ные фор­му­лы про­ще, удоб­нее и логи­че­ски более оправ­да­ны. На хер­со­нес­ском мате­ри­а­ле их пред­по­чти­тель­ность вряд ли вызо­вет сомне­ния, одна­ко для пол­ной убеди­тель­но­сти нуж­на про­вер­ка на амфо­рах дру­гих цен­тров.

В нашем рас­по­ря­же­нии, к сожа­ле­нию, не ока­за­лось изме­ре­ний емко­сти и линей­ных пара­мет­ров амфор хотя бы несколь­ких антич­ных цен­тров — экс­пор­те­ров вина и олив­ко­во­го мас­ла. Поэто­му, кро­ме хер­со­нес­ских сосудов была исполь­зо­ва­на толь­ко одна фасос­ская амфо­ра из Ним­фея, изда­нию кото­рой И. Б. Бра­шин­ский посвя­тил спе­ци­аль­ную ста­тью¹². Опи­ра­ясь на обме­ры, автор пуб­ли­ка­ции пред­по­ло­жил, что основ­ные линей­ные раз­ме­ры это­го сосуда рав­ны: H₀=28, с.111 D=21, d=6, H₁=14 ионий­ским дак­ти­лям. Отно­ся амфо­ру к кате­го­рии «пифо­ид­ных», И. Б. Бра­шин­ский по фор­му­ле Геро­на с коэф­фи­ци­ен­том 11/14 про­счи­ты­ва­ет ее тео­ре­ти­че­скую меру емко­сти (4009 ионий­ских куб. дак­ти­лей) и пред­по­ла­га­ет, что стан­дарт это­го типа фасос­ской тары рав­нял­ся 1 ионий­ско­му куб. футу (4096 куб. дак­ти­лей или 25.9—26.0 лит­ра) и одно­вре­мен­но 8 атти­че­ским хоям (25.6—25.92 лит­ра). Пол­ная фак­ти­че­ская емкость амфо­ры, заме­рен­ная зер­ном, рав­на 25.7 лит­ра.

Рис. 2. Про­стран­ст­вен­ная схе­ма новой фор­му­лы рас­че­та емко­сти амфор вытя­ну­той фор­мы

Вызы­ва­ют сомне­ния два момен­та. Во-пер­вых, веро­ят­ная стан­дарт­ная мера рав­на или даже боль­ше фак­ти­че­ской емко­сти, чего не долж­но было бы наблюдать­ся¹³. Во-вто­рых, очень неудоб­ные циф­ры полу­че­ны для раз­ме­ров D и d, сум­ма кото­рых дает нечет­ное чис­ло. Сле­до­ва­тель­но, сред­ний диа­метр, кото­рый фак­ти­че­ски исполь­зу­ет­ся при вычис­ле­нии меры, выра­жен дроб­ным чис­лом (21+6)÷2=13.5 дак­ти­ля. Если пер­вое заме­ча­ние мож­но объ­яс­нить неточ­но­стью в про­из­вод­стве сосуда, то вто­рой момент тако­го объ­яс­не­ния не нахо­дит.

Нам кажет­ся, что в дан­ном слу­чае, как и у хер­со­нес­ских амфор, в каче­стве наи­боль­ше­го диа­мет­ра дол­жен брать­ся не внеш­ний, а внут­рен­ний диа­метр туло­ва (без тол­щи­ны сте­нок — D₁), кото­рый в таком слу­чае равен 20 ионий­ским дак­ти­лям. Тогда сред­ний диа­метр будет равен цело­му чис­лу (20+6)÷2=13. Недо­уме­ния этот факт не дол­жен вызы­вать. В конеч­ном сче­те гон­чар, на прак­ти­ке зная с.112 воз­мож­ную усад­ку изде­лия при суш­ке и обжи­ге¹⁴, мог с оди­на­ко­вым успе­хом запла­ни­ро­вать как внеш­ний, так и внут­рен­ний диа­метр туло­ва.

Если теперь повто­рить рас­чет по фор­му­ле Геро­на с уче­том D₁=20, мы полу­чим: 11/14×[(20+6)÷2]²×28=3718 ионий­ских куб. дак­ти­лей, или 23.54 лит­ра. В таком слу­чае эта амфо­ра вме­ща­ла стан­дарт­ную меру в 8 фасос­ских хоев (в 2.94 лит­ра)¹⁵, или в мет­ри­че­ских еди­ни­цах 23.52 лит­ра, фак­ти­че­ское сов­па­де­ние тео­ре­ти­че­ски рас­счи­тан­ной меры и содер­жа­ния стан­дар­та (23.54 и 23.52 лит­ра) выглядит доволь­но убеди­тель­но. Оста­ток объ­е­ма от пол­ной емко­сти (25.7 лит­ра) до стан­дар­та, таким обра­зом, соста­вит 2.16—2.18 лит­ра. На наш взгляд, эта раз­ни­ца явля­ет­ся более при­ем­ле­мой.

Если при­знать, что фасос­ская амфо­ра из Ним­фея име­ет меру емко­сти не в атти­че­ских, а в фасос­ских хоях, то, сле­до­ва­тель­но, или амфо­ра изготов­ле­на до введе­ния в дей­ст­вие зако­на Кле­ар­ха 449 г. до н. э. об уни­фи­ка­ции мер и весов, или этот афин­ский декрет не кос­нул­ся фасос­ских мер емко­сти.

Хотя в пуб­ли­ка­ции не при­веде­на высота гор­ла фасос­ской амфо­ры, по чер­те­жу этот раз­мер доволь­но надеж­но вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся и равен, ско­рее все­го, 6 ионий­ским дак­ти­лям. Таким обра­зом, раз­мер H₄ для рекон­струи­ро­ван­ной фор­му­лы опре­де­ля­ет­ся как (28—6)=22 ионий­ских дак­ти­ля. Тео­ре­ти­че­ская мера емко­сти тогда будет: 22×[(20+6)÷2]²=22×169=3718 ионий­ских куб. дак­ти­лей или 23.54 лит­ра, т. е. тот же резуль­тат, что и по фор­му­ле Геро­на.

В ито­ге мож­но отме­тить, что две рекон­струи­ро­ван­ные фор­му­лы мог­ли быть исполь­зо­ва­ны для рас­че­та стан­дарт­ных мер емко­сти антич­ных ост­ро­дон­ных амфор. Их пре­иму­ще­ство по срав­не­нию с дошед­ши­ми до нас фор­му­ла­ми Геро­на состо­ит как в про­сто­те вычис­ле­ний, так и в иной прин­ци­пи­аль­ной осно­ве. Употреб­ле­ние этих фор­мул не свя­за­но с чис­лом π, а опи­ра­лось на равен­ство объ­е­мов парал­ле­ле­пи­пе­да и слож­но­про­филь­ной сфе­ро­ид­ной фигу­ры (амфо­ры), при­чем необ­хо­ди­мая высота тео­ре­ти­че­ско­го парал­ле­ле­пи­пе­да для каж­до­го типа сосудов опре­де­ля­лась отдель­но и, види­мо, экс­пе­ри­мен­таль­но.

с.113

с.114 Полу­чен­ные на осно­ве ана­ли­за мет­ро­ло­ги­че­ских харак­те­ри­стик антич­ных амфор резуль­та­ты поз­во­ля­ют утвер­ждать, что при­пи­сы­вае­мая Архи­меду тео­ре­ма о соот­но­ше­нии пло­ща­дей кру­га и квад­ра­та, постро­ен­но­го на диа­мет­ре, была извест­на и исполь­зо­ва­лась гре­ка­ми в прак­ти­че­ской дея­тель­но­сти, по край­ней мере, уже в V в. до н. э., а может быть и ранее.

Фак­ти­че­ское сов­па­де­ние резуль­та­тов вычис­ле­ния по фор­му­лам Геро­на и рекон­струи­ро­ван­ным фор­му­лам на осно­ве хер­со­нес­ско­го амфор­но­го мате­ри­а­ла не озна­ча­ет, что такое явле­ние долж­но наблюдать­ся во всех слу­ча­ях. Весь­ма веро­ят­но, что отдель­ные груп­пы тары не будут про­счи­ты­вать­ся по фор­му­лам Геро­на, но дадут удо­вле­тво­ри­тель­ный резуль­тат по рекон­струи­ро­ван­ным фор­му­лам. Несо­мнен­но, что подоб­ных фор­мул рас­че­та стан­дарт­ных мер емко­сти амфор суще­ст­во­ва­ло несколь­ко.